Croatian Competitions

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\frac{3 - 2\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 2} - 2} \geqslant \sqrt{x + 6}.$$

Grafovi funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = -x^2 + 9x - 20$ i $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 3$ nacrtani su u koordinatnoj ravnini. Odredi najveću moguću površinu pravokutnog trokuta $ABC$ s pravim kutom u vrhu $C$ smještenog tako da su mu vrhovi $A$ i $C$ na osi apscisa, vrh $A$ pripada grafu funkcije $f$, a vrh $B$ grafu funkcije $g$ i pritom je apscisa točke $B$ manja od apscise točke $A$, a njena ordinata veća od ordinate točke $A$.

Zadan je pravokutan trokut opsega $60$ čija je visina na hipotenuzu duljine $12$. Odredi duljine stranica tog trokuta.

Odredi sve realne brojeve $r$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 - 19x + r = 0$ kubovi cijelih brojeva.

U svako polje pravokutne tablice upisan je po jedan realan broj tako da zbroj brojeva u svakom retku tablice iznosi $1$, a zbroj brojeva u svakom stupcu tablice iznosi $2$.

(a) Može li tablica imati točno $200$ polja?

(b) Može li tablica imati točno $2000$ polja?

Neka je $ABCD$ konveksan četverokut takav da je $|AB| = 4$, $|BC| = 7$, $|AD| = 5$, $|\measuredangle CBA| = 90^\circ$, te su kutovi $\measuredangle ADC$ i $\measuredangle DCB$ šiljasti i međusobno sukladni. Odredi duljinu dužine $\overline{CD}$.

Neka su $x$ i $y$ racionalni brojevi takvi da su $x + y$ i $x^2 + y^2$ cijeli brojevi. Jesu li nužno $x$ i $y$ cijeli brojevi?

Odredite realan parametar $m$ za koji je kvadrat razlike rješenja jednadžbe $x^2 + 2mx + m = 1$ najmanji te odredite najmanju pripadnu vrijednost.

Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ za koje je funkcija $f, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$f(x) = \sqrt{x^4 - 2x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$$ rastuća.

Odredite sve one troznamenkaste prirodne brojeve koji su jednaki zbroju svoje znamenke stotice, kvadrata znamenke desetice i kuba znamenke jedinice.

Ako su korijeni jednadžbe $x^2 + 2x + c = 0$ međusobno različiti realni brojevi, za neki realan parametar $c$, dokažite da tada korijeni jednadžbe $$(1 + c)(x^2 + 2x + c) - 2(c - 1)(x^2 + 1) = 0$$ ne mogu biti realni.

Ako je $$\sqrt{x^2 + \sqrt[3]{x^4y^2}} + \sqrt{y^2 + \sqrt[3]{x^2y^4}} = a,$$ koliko je $(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2})^3$?

Neka je trokut $ABC$ proizvoljni pravokutni trokut s pravim kutom pri vrhu C, katetama duljina $a$ i $b$ te hipotenuzom duljine $c$.

a) Dokažite da će u svakom pravokutnom trokutu zbroj duljina kateta umanjen za duljinu hipotenuze biti jednak duljini promjera tom trokutu upisane kružnice.

b) U kojem su omjeru duljine stranica pravokutnog trokuta ako se duljina polumjera tom trokutu opisane kružnice i duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice odnose kao $5 : 2$?

Promotrimo tablicu brojeva s $50$ redaka i $50$ stupaca, oblika: $$\left[ \begin{array}{cccccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,49} & a_{1,50} \\ 0 & a_{2,2} & \ldots & a_{2,49} & a_{2,50} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & a_{49,50} & a_{49,50} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{50,50} \end{array} \right]$$ pri čemu oznaka $a_{i,j}$ označava broj koji se nalazi u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu i pri čemu su brojevi $a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{50,50}$ iz skupa $S = \{2,3\ldots,22\}$. Odredite broj tablica navedenog oblika koje u svakom retku imaju točno jedan neparan broj. (Napomena: konačno rješenje može se napisati u obliku umnoška, bez dodatnog računanja.)

Odredi sve realne brojeve $k$ za koje se tjeme parabole s jednadžbom $$y = 4x^2 - 4(k + 1)x + k^2 + 4k - 1$$ nalazi na paraboli čija je jednadžba $y = 4x^2 - 2x - 8$.

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ takve da je $$x^2 + y^2 = 10(x + y).$$

Za realne brojeve $a$ i $b$ jednadžba $x^2 + ax + b = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja (ne nužno različita). Dokaži da jednadžba $x^2 + 5ax + (6a^2 + b) = 0$ također ima dva cjelobrojna rješenja.

Riješi nejednadžbu $$\frac{(1 + x)^2}{1 + y} \leqslant 1 + \frac{x^2}{y}.$$ Za koje parove $(x, y)$ se postiže jednakost?

Neka je $\overline{AB}$ promjer kružnice $k$, a točka $O$ njeno središte. Neka je $C$ točka izvan kružnice $k$ na simetrali dužine $\overline{AB}$. Dužina $\overline{AC}$ siječe kružnicu $k$ u točki $D$. Ako je $|AB| = 2$ i $|CD| = 1$, odredi $|OC|$.

Kažemo da je prirodni broj $n \geqslant 2$ tajanstven ako za svaki njegov djelitelj $d$ veći od $1$ vrijedi $d^2 + n \mid n^2 + d$. Odredi sve tajanstvene prirodne brojeve.

Na slici je prikazan skup od $16$ točaka raspoređenih na $10$ istaknutih pravaca. Za dvije točke tog skupa kažemo da su vezane ako pripadaju istom istaknutom pravcu.

a) Koliko je najviše točaka promatranog skupa moguće odabrati tako da među njima ne bude vezanih točaka?

b) Odredi broj podskupova promatranog skupa točaka bez vezanih točaka s najvećim mogućim brojem elemenata.

Dokaži da je za sve prirodne brojeve $n$ broj $n^4 - n^2$ djeljiv s $12$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi različiti od nule za koje vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.$$ Dokaži da je $abc < 0$.

Na ploči su napisana $2023$ različita realna broja. Ako svaki broj na ploči (istovremeno) zamijenimo zbrojem svih ostalih brojeva, na ploči će biti ista $2023$ broja kao i na početku. Koje sve vrijednosti može poprimiti umnožak svih brojeva na ploči u nekom trenutku?

Neka je $ABCDE$ konveksan peterokut kojemu su sve stranice sukladne, a kutovi pri vrhovima $C$ i $D$ pravi. Ako je $P$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$, dokaži da je $|PA| = |PD|$.

Neka su $1 = d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5 < d_6 = n$ svi prirodni djelitelji broja $n$ takvi da je $d_5 = 289$ i $d_3 - d_2 = 10$. Odredi $n$.

Neka su $x_1$ i $x_2$ različita rješenja jednadžbe $x^2 + 5x + 3 = 0$. Izračunaj $\dfrac{x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3}{x_1 + x_2}$.

Odredi sve vrijednosti parametra $p \in \mathbb{R}$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 + px + 2023 = 0$ cijeli brojevi.

Neka su $p$ i $q$ prosti brojevi takvi da su $p + q + 4$ i $pq - 12$ također prosti brojevi. Odredi $p + q$.

Dokaži da je broj $6^{2022} - 2^{2022}$ djeljiv s $2^{2025}$.

Tea je umijesila tijesto od tri sastojka: brašna, vode i jaja. Masa brašna u tijestu prema masi vode odnosi se kao $7:2$, dok se masa vode prema masi jaja odnosi kao $5:2$. Ukupna masa tijesta je $1470$ grama. Odredi mase svakog od sastojaka.

Dva sukladna kvadrata sa stranicama duljine $1 + \sqrt{2}$ imaju isto središte, a njihov presjek je pravilni osmerokut. Kolika je površina tog osmerokuta?

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi $a + b + c = 0$ i $abc = 4$. Odredi vrijednost izraza $a^3 + b^3 + c^3$.

Na stolu se nalazi hrpa s $1001$ kamenčićem. U svakom koraku Matko odabire neku hrpu koja sadrži više od tri kamenčića, uklanja jedan kamenčić i podijeli ostatak kamenčića na dvije (ne nužno jednake) hrpe. Može li Matko nizom ovakvih koraka postići da u svakoj hrpi budu točno tri kamenčića?

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ vrijedi $|AT| = |BC|$ i $\measuredangle BCT = 30°$. Odredi $|CT| : |AT|$.

Odredi sve parove $(m, n)$ prirodnih brojeva za koje je $m(m - 4n) = n - 4$.

Put koji povezuje mjesto $A$ s mjestom $B$ u prvom je dijelu ravan, a ostatak je nizbrdica. Biciklist je iz mjesta $A$ u mjesto $B$ stigao za $1$ sat i $15$ minuta. Pri povratku mu je trebalo pola sata više. Na ravnome dijelu ceste vozio je brzinom za $4$ km/h većom od brzine na uzbrdici. Vozeći nizbrdo dvostruko je brži nego kad ide uzbrdo i za $50\%$ brži nego na ravnom dijelu ceste. Kolika je udaljenost mjesta $A$ i $B$?

Točke $A$, $B$, $C$, $D$ i $E$ povezane su dužinama kao na slici. Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ sijeku dužinu $\overline{DE}$ redom u točkama $F$ i $G$. Ako je $\measuredangle ABC = 20^{\circ}$ i ako je $\measuredangle DFA = \measuredangle CGE$, odredi $\measuredangle EAB + \measuredangle DEA$.

Svaki od trojice prijatelja popisao je svojih deset omiljenih računalnih igara. Na sva tri popisa zajedno našlo se $15$ različitih igara. Uspoređujući svoje popise uočili su da svaka dvojica imaju po $6$ istih igara na popisu. Koliko se igara nalazi na sva tri popisa?

Na ploči su napisani brojevi $1, 2, 3, \ldots, 2021$. Je li moguće brojeve brisati jednog po jednog sve dok na ploči ne ostane samo jedan broj, tako da nakon svakog brisanja zbroj svih preostalih brojeva bude složen broj?

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih s $3$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $2$, $4$, $6$ ni $9$?

U koordinatnom sustavu u ravnini dana su dva pravca koja se sijeku pod pravim kutom u točki $A(6, 8)$. Sjecišta $P$ i $Q$ tih pravaca s osi $y$ su simetrična u odnosu na ishodište. Odredi površinu trokuta $APQ$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje su među brojevima $n$, $4^n + 1$ i $n^2 + 2$ barem dva prosta broja.

Odredi zbroj svih znamenaka dekadskog zapisa broja $(10^{2020} + 2020)^2$.

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $x + y = 1$ i $x^3 + y^3 = 13$. Koliko je $x^2 + y^2$?

Dino, Pino i Tino idu u isti vrtić. Za igru svaki dječak treba dvije kockice iste boje, ali nije nužno da kockice koje imaju različiti dječaci budu različite boje. Odgojiteljica u jednoj ladici ima crvene, plave i zelene kockice. Ako izvlači bez gledanja, koliko najmanje kockica treba izvući iz ladice da bi bila sigurna da će od tih kockica svaki dječak moći uzeti dvije istobojne kockice?

U posudi $A$ nalazi se četiri kilograma grickalica, od čega je $45\%$ kikiriki. U posudi $B$ nalazi se pet kilograma grickalica, od čega je $48\%$ kikiriki. U posudi $C$ se nalazi jedan kilogram grickalica. Iz te posude se određeni dio prebaci u posudu $A$, a ostatak u posudu $B$, i to tako da je udio kikirikija u oba dijela jednak i iznosi $k\%$. Nakon toga je i u posudi $A$ i u posudi $B$ točno $50\%$ kikirikija. Odredi $k$.

Neka je $ABCDE$ pravilni peterokut i neka je $F$ točka unutar njega takva da je trokut $ABF$ jednakostraničan. Odredi kutove trokuta $DEF$.

Na dvije nasuprotne strane kocke dimenzija $1 \times 1 \times 1$ nalazi se po jedna točka, na druge dvije nasuprotne strane po dvije točke, a na preostale dvije strane po tri točke. Od osam takvih identičnih kocki napravljena je kocka dimenzija $2 \times 2 \times 2$. Matija je izbrojio ukupan broj točaka na svakoj od strana te kocke i zaključio "dobili smo šest uzastopnih prirodnih brojeva". Je li Matija u pravu? Obrazloži odgovor.

Duljine kateta pravokutnog trokuta su $a$ i $b$, a duljina njegove hipotenuze je $c$. Ako su sve tri duljine prirodni brojevi, te $a$ k tome neparan prost broj, dokaži da je broj $2(a + b + 1)$ kvadrat nekog prirodnog broja.