Croatian Competitions

Odredi sve parove $(x, y)$ pozitivnih realnih brojeva za koje vrijedi $$\left\{ \begin{array}{l l} y^{x^2 - 7x + 12} & = 1 \\ x + y & = 6. \end{array} \right.$$

Ako je $\sin x + \cos x = 1.4$, odredi $\mathrm{tg}^2 x + \mathrm{ctg}^2 x$.

Lukas je odlučio napraviti snjegovića od tri kugle čiji su polumjeri $30$ cm, $26$ cm i $18$ cm. Dvije veće kugle prerezao je tako da oba presjeka budu krugovi polumjera $24$ cm, te je odbacio manje dijelove, a veće dijelove stavio jedan na drugi, spajajući ih duž tog kruga. Na kraju je na vrh položio najmanju kuglu. Kolika je ukupna visina Lukasovog snjegovića?

Za realne brojeve $a$, $b$, $c$, $d$ veće od $1$ vrijedi $\log_b a \cdot \log_d c = 1$. Odredi vrijednost izraza $$\frac{a^{\log_b c} \cdot b^{\log_c d} \cdot c^{\log_d a} \cdot d^{\log_a b}}{abcd}.$$

Polja pravokutne ploče s $2026$ redaka i $100$ stupaca obojena su naizmjence crno i bijelo, kao na šahovskoj ploči. Skakavac koji se nalazi na nekom polju ploče može skočiti na bilo koje polje iste boje u istom retku, ili bilo koje polje različite boje u istom stupcu. Koliko se najviše skakavaca može rasporediti na toj ploči tako da niti jedan skakavac ne može skočiti na polje na kojem se već nalazi neki drugi skakavac?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva djeljiv zbrojem prvih $n$ prirodnih brojeva.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$. Ako vrijedi $|\measuredangle ACB| = 2|\measuredangle BAC|$ i $|AI| = |BC|$, odredi kutove trokuta $ABC$.

Neka su $a$ i $b$ znamenke za koje vrijedi

$$\overline{aaa} + \overline{aab} + \overline{abb} + \overline{bbb} = 1503.$$

Koliko je tada $a^b + b^a$?

Ako je $\cos \alpha = \tan \alpha$, koliko je $\frac{1}{\sin \alpha} + \cos^4 \alpha$?

Dan je valjak s visinom duljine $10$ cm. Na obodima njegovih osnovki su točke $A$ i $B$ takve da je $\overline{AB}$ paralelno s osi valjka. Spojimo li točke $A$ i $B$ najkraćom linijom koja jednom obilazi oko valjka po plaštu, njezina će duljina biti $15$ cm. Kolika je duljina najkraće linije koja dva puta obilazi oko valjka i spaja točke $A$ i $B$?

Riješite jednadžbu

$$\log_{2x+7}(4 + 12x + 9x^2) + \log_{3x+2}(6x^2 + 25x + 14) = 4$$

u skupu realnih brojeva.

Može li se broj

$$\sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2025}$$

zapisati u obliku $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ za neke prirodne brojeve $a$, $b$ i $c$?

Riješite jednadžbu

$$2^x = 3^y + 1$$

u skupu cijelih brojeva.

Odredite sve moguće vrijednosti prostog broja $p \geq 5$ za koje postoji barem jedan par prirodnih brojeva $(x, y)$ koji je rješenje jednadžbe

$$\frac{16}{x} + \frac{25}{y} = p.$$

Odredi sva realna rješenja nejednadžbe $$\log_9 x^2 - \log_3 (x + 8) \leqslant \log_{\frac{1}{3}} (x - 3) - 1.$$

Ako je $\frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x + 1}{\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x + 2} = \frac{4}{9}$, odredi $\sin x \cos x$.

Dan je trokut $ABC$ površine $5$. Ako za duljine stranica tog trokuta vrijedi jednakost $|AB|^2 + |AC|^2 = 17 + |BC|^2$, odredi tangens kuta $\measuredangle CAB$.

Na školskom natjecanju iz matematike sudjelovalo je $1200$ učenika. Broj bodova koje učenik može ostvariti je cijeli broj između $0$ i $50$. Računalnom greškom svim je učenicima koji su ostvarili $3$ ili manje bodova zapisan rezultat $0$ bodova, a svim učenicima koji su ostvarili $47$ ili više bodova zapisano je $50$ bodova. Zbog te greške, prosječni rezultat na natjecanju prema podacima u računalu veći je za $0.1$ od stvarnog.

Dokaži da postoje brojevi $a$ i $b$ takvi da se broj učenika koji su ostvarili točno $a$ bodova i broj učenika koji su ostvarili točno $b$ bodova razlikuje za barem $20$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je vrijednost izraza $$\frac{n^2 - 22 + \log_2 n}{n - 5}$$ cijeli broj.

Kružnice $k_1$, $k_2$ i $k_3$ sa središtima $S_1$, $S_2$, $S_3$ i polumjerima duljina $r_1 = 1$, $r_2 = 2$, $r_3 = 3$, redom, međusobno se dodiruju izvana tako da je $A$ diralište kružnica $k_1$ i $k_2$, $B$ diralište kružnica $k_2$ i $k_3$ te $C$ diralište kružnica $k_3$ i $k_1$. Odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi proste brojeve $p, q, r$ i prirodni broj $n$ za koje vrijedi $$p^2 = q^2 + r^n.$$ Nađi sva rješenja.

Dan je trokut $ABC$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ i $H$ ortocentar tog trokuta. Ako je $|HM| = \frac{1}{2}|AB|$, dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Neka je $x$ realan broj različit od $-1$ i $1$. Dokaži da vrijedi $$x^2 + \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x + 1)^2} \geq 2.$$

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$\begin{cases} a^2 - 2ab + c^2 = ac - 13 \\ b^2 + ac = 23 \end{cases}$$

Na ploči dimenzija $100 \times 100$ nalaze se dvije figure – u gornjem lijevom polju je kralj, a u gornjem desnom skakač. Figure se naizmjenično pomiču, a kralj kreće prvi. Obje figure se kreću kao u šahu: skakač se s polja označenog kružićem može pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči), dok se kralj u svom potezu pomiče na jedno od (najviše) osam susjednih polja. Može li kralj sigurno doći do donjeg desnog polja ploče, a da ga skakač pritom ne ulovi?

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||2^x - 1| - 2| = a$$ ima točno dva realna rješenja.

Odredi najmanji prirodan broj koji se može prikazati u obliku $50a^4$ i u obliku $3b^3$ za neke prirodne brojeve $a$ i $b$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje postoji realan broj $y$ takav da je $$\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)} = 4 \sin(x + y) \cos(x - y).$$

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$\log_{2023 - 2(a + b)} b = \frac{1}{3 \log_b a}?$$

Koliko je cijelih brojeva $n$ za koje nejednakost $x^2 + nx + 100 > 0$ vrijedi za sve realne brojeve $x$?

U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu $\sqrt{9 - 5x} - \sqrt{3 - x} = \dfrac{6}{\sqrt{3 - x}}$.

Sir se nalazi u točki $(13,13)$, a miš trči pravocrtno od točke $(4, -2)$ do točke $(-1, 23)$. U kojoj se točki miš nalazi najbliže siru?

Pet strana drvene kocke obojano je plavom bojom dok je jedna strana neobojana. Kocka je potom razrezana na sukladne manje kockice od kojih $649$ ima točno jednu plavu stranu. Koliko je manjih kockica koje imaju točno dvije plave strane?

Dan je kvadrat $ABCD$. Neka je $E$ točka na polupravcu $AB$ takva da je $\measuredangle AED = 27°$. Dužine $AC$ i $DE$ sijeku se u točki $S$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle BSE$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $a < b$ i neka je $S = \{a^2, a^2 + 1, a^2 + 2, \ldots, b^2\}$. Odredi sve parove brojeva $a$ i $b$ za koje je među elementima skupa $S$ točno $1\%$ kvadrata prirodnih brojeva.

Kvadratna jednadžba $x^2 + bx + c = 0$ ima realna rješenja čiji je zbroj kvadrata jednak $2$. Odredi sve moguće vrijednosti izraza $b + c$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ i proste brojeve $p$ takve da je $$6n^2 - (2p + 9)n + p + 3 = 0.$$

Zapisan je $2021$-znamenkasti broj. Svaki dvoznamenkasti broj koji čine dvije uzastopne znamenke tog broja (bez promjene poretka) djeljiv je sa $17$ ili s $23$. Znamenka jedinica danog broja je $7$. Koja je njegova prva znamenka?

Dana je žica duljine $10$ m koju treba presjeći na dva dijela, te od jednog dijela napraviti kvadrat, a od drugog jednakostranični trokut. Na kojem mjestu treba presjeći žicu da bi ukupna površina kvadrata i jednakostraničnog trokuta bila što manja?

U svako polje tablice $10 \times 10$ upisan je po jedan prirodni broj, a svih $20$ zbrojeva brojeva u njezinim retcima i stupcima međusobno su različiti. Koliko iznosi najmanji mogući zbroj svih brojeva u tako popunjenoj tablici?

Odredi sve parove $\{a, b\}$ različitih realnih brojeva takve da jednadžbe $$x^2 + ax + b = 0 \quad \text{i} \quad x^2 + bx + a = 0$$ imaju barem jedno zajedničko rješenje u skupu realnih brojeva.

Neka je $ABCD$ pravokutnik u kojem je $|AB| = 1$ i $|BC| = \sqrt{3}$. Upisane kružnice trokuta $ABC$ i $ACD$ diraju dužinu $\overline{AC}$ u točkama $M$ i $N$. Odredi $|MN|$.

Odredi pozitivne racionalne brojeve $x$ i $y$ za koje su $x + \dfrac{1}{y}$ i $y + \dfrac{1}{x}$ prirodni brojevi.

Odredi sve prirodne brojeve $k$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 - 63x + k = 0$ prosti brojevi.

Unutar kružnice $k$ polumjera $20$ nalaze se kružnica $k_1$ polumjera $5$ i kvadrat $ABCD$. Pritom se kružnice $k$ i $k_1$ diraju u točki $P$, točke $A$ i $B$ leže na kružnici $k$, a pravac $CD$ dira kružnicu $k_1$ u točki $Q$ takvoj da je $\overline{PQ}$ promjer te kružnice.

Odredi duljinu stranice kvadrata $ABCD$.

Svaki od četiri zida sobe potrebno je obojiti jednom bojom tako da susjedni zidovi ne budu iste boje. Ako na raspolaganju imamo tri različite boje, na koliko je načina moguće obojiti sobu? Nije nužno upotrijebiti sve boje.

Odredi najveći prirodni broj $n$ takav da $n + 10$ dijeli $n^3 + 100$.

Upiši u prazna polja tablice brojeve tako da u svakom retku, stupcu i dijagonali broj u sredini bude aritmetička sredina druga dva broja. Obrazloži!

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 8 & \\ \hline 11 & & \\ \hline & & 29 \\ \hline \end{array}$$

Trapez $ABCD$ s osnovicama $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ ima opisanu kružnicu $k$. Njegove dijagonale međusobno su okomite i sijeku se u točki $S$. Odredi omjer površine kruga omedenog kružnicom $k$ i zbroja površina trokuta $ABS$ i $CDS$.

Dvije ekipe igraju rukomet. Nijedna ekipa nije postigla $30$ ili više pogodaka. Zapisničar na početku utakmice i nakon svakog postignutog pogotka zapisuje rezultat te izračuna zbroj svih znamenaka u rezultatu. Na primjer, kod rezultata $15 : 6$ zbroj znamenaka iznosi $12$. Koliko je najviše puta tijekom utakmice zapisničar mogao zapisati rezultat u kojem je ukupan zbroj znamenaka jednak $10$?