Croatian Competitions

Odredi sve parove $(x, y)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\begin{aligned} |2x + 1| + 3x - 2y &= -14 \\ |3x + 1| + x + 4y &= 25. \end{aligned}$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a \geqslant c$ i $b \geqslant c$ vrijedi nejednakost $$\sqrt{c(a - c)} + \sqrt{c(b - c)} \leqslant \sqrt{ab}.$$

Vrhovima $B$, $C$ i $D$ kvadrata $ABCD$ prolaze, redom, međusobno paralelni pravci $b$, $c$ i $d$. Ako je udaljenost pravaca $b$ i $c$ jednaka 5, a udaljenost pravaca $b$ i $d$ jednaka 7, kolika može biti površina kvadrata $ABCD$?

Ploču na slici treba prekriti pločicama dimenzija $1 \times 2$. Svaka pločica prekriva točno dva polja. Pločice se smiju rotirati i ne smiju se preklapati. Dokaži da je broj načina na koje se to može napraviti jednak zbroju kvadrata dvaju prirodnih brojeva.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ takve da vrijedi $$2^a + 2b^2 = 3^c + 67.$$

Odredi sve trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$|a + 3| + b^2 + 4c^2 - 14b - 12c + 56 = 0.$$

Odredi sve trojke realnih brojeva $(a, b, c)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$a^3 + b^2c = ac$$ $$b^3 + c^2a = ba$$ $$c^3 + a^2b = cb.$$

Odredi sve četvorke prirodnih brojeva $(a, b, k, n)$ za koje vrijedi $$k \cdot 2^{2n} - (2k - 1) \cdot 2^n + k - 1 = k \cdot 2^{a + b} - 2^b.$$

Iz ploče dimenzija $2025 \times 2025$ uklonjen je kvadrat dimenzija $7 \times 7$, a preostali dio ploče prekriva se pločicama dimenzija $1 \times 4$ (tako da svaka pločica prekriva točno četiri polja).

(a) Ako uklonimo središnji $7 \times 7$ kvadrat, dokaži da je preostali dio ploče moguće pokriti pločicama dimenzija $1 \times 4$.

(b) Ako uklonimo $7 \times 7$ kvadrat koji sadrži jedan ugao ploče, dokaži da preostali dio ploče nije moguće pokriti pločicama dimenzija $1 \times 4$.

Neka su $K$ i $L$ redom polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{AD}$ paralelograma $ABCD$. Za točku $T$ unutar paralelograma vrijedi $|KT| = |AK|$ i $|LT| = |CL|$. Neka je $M$ polovište dužine $\overline{BT}$. Dokaži da je $\measuredangle MAT = \measuredangle TCM$.

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz $$x + |2|x| - 1|$$ za neki realni broj $x$.

Za višeznamenkasti prirodni broj definirana je operacija tumbanje pri kojem se vodeća znamenka izbriše, a zatim ista znamenka dopiše na kraj broja, iza znamenke jedinica. Tako npr. od broja 123 nastaje broj 231, a od broja 107 broj 71. Prirodni broj je mudar ako mu je vodeća znamenka u dekadskom zapisu jednaka 1, a tumbanjem od njega nastaje triput veći broj. Odredi sve mudre brojeve.

Unutar trokuta $ABC$ stranica duljina $|AB| = 11$, $|BC| = 13$ i $|CA| = 14$ nalazi se točka $K$ takva da je $\measuredangle KBA = \measuredangle KCB = 30°$. Točke $M$ i $N$ su redom osnosimetrične slike točke $K$ s obzirom na pravce $AB$ i $BC$. Odredi udaljenost točaka $M$ i $N$.

Realni brojevi $x$, $y$ i $z$ zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x^3 &= 2y^3 + y - 2\\ y^3 &= 2z^3 + z - 2\\ z^3 &= 2x^3 + x - 2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x = y = z = 1$.

Antonija je zamislila 6 različitih realnih brojeva, a zatim je na ploču napisala sve moguće zbrojeve dvaju, ne nužno različitih, zamišljenih brojeva. Kada je Branku rekla da su najmanja dva od zamišljenih brojeva 2024 i 4048, Branko je zaključio da koji god preostali brojevi bili, broj različitih brojeva na ploči nije mogao biti manji.

a) Koliko je različitih brojeva na ploči?

b) Koliki sve može biti najveći broj koji je Antonija zamislila?

Odredi sve trojke $(p,q,r)$ prostih brojeva za koje vrijedi $pq + r = 1 + rp + qr$.

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz

$$a^2 + b^2 + |ab - 1| + |ab - 4|$$

za neke realne brojeve $a$ i $b$.

Dan je trokut $ABC$ u kojem je $\measuredangle BAC = 45°$, $|AB| = 4$, $|AC| = 3\sqrt{2}$. Neka su $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ visine tog trokuta. Okomica na $\overline{AB}$ kroz točku $E$ siječe dužinu $\overline{AD}$ u točki $P$.

Odredi $|EP|$.

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$abc = -1, \quad a + b + c = 4 \quad \text{i}$$

$$\frac{a}{a^2 - 3a - 1} + \frac{b}{b^2 - 3b - 1} + \frac{c}{c^2 - 3c - 1} = \frac{4}{9}.$$

Dokaži da je $a^2 + b^2 + c^2 = \dfrac{33}{2}$.

Neka je $n$ prirodni broj. Dana su dva jednaka kompleta od po $n$ kartica s oznakama od 1 do $n$. Na stol su nekim redom slijeva nadesno posložene sve kartice prvog kompleta, a u nastavku istim redom sve kartice drugog kompleta. Kažemo da je takav poredak kartica dobar ako je moguće odabrati i ukloniti nekih $n$ kartica tako da preostane $n$ kartica s brojevima od 1 do $n$ poredanih u rastućem poretku slijeva nadesno. Koliko ima dobrih rasporeda kartica?

Natjecanje se održava u 11 učionica u kojima se nalazi isti broj klupa raspoređenih na isti način: u određenom broju stupaca i određenom broju redova. U svakoj je klupi po jedan učenik. Kada bi u svakoj učionici bio jedan red klupa manje i jedan stupac klupa više, bilo bi dovoljno 10 učionica, a još bi dvije klupe ostale prazne. Koliko ukupno može biti učenika na natjecanju ako je poznato da je njihov broj troznamenkast?

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||x - 2| - x + a| = x + 3$$ ima točno dva realna rješenja.

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ kojemu je $\overline{BC}$ osnovica. S vanjske strane tog trokuta nacrtani su jednakokračni trokuti $CBD$, $ACE$ i $BAF$ slični trokutu $ABC$, kojima su osnovice redom $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{BF}$. Ako je $\measuredangle CAB = 38°$, odredi $\measuredangle EDF$.

Odredi sve parove nenegativnih cijelih brojeva $(k, m)$ za koje vrijedi $$3m^3 - m + 21 = 3^{3k+1} - 2 \cdot 3^{2k+2} + 3^{k+3} + 3^{k+2}.$$

Dan je konveksan mnogokut s 2022 vrha kojem se nikoje tri dijagonale ne sijeku u istoj točki. Potrebno je obojiti neke dijagonale crveno tako da iz svakog vrha izlazi barem jedna crvena dijagonala.

Koliko je najmanji mogući broj sjecišta (u vrhu ili unutrašnjosti) crvenih dijagonala?

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\begin{aligned} x^{2} - y &= z^{2}, \\ y^{2} - z &= x^{2}, \\ z^{2} - x &= y^{2}. \end{aligned}$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ koji zadovoljavaju jednakost $$3^{a} - 2^{b} = 2021.$$

U trapezu $ABCD$ zbroj duljina osnovica $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ jednak je duljini kraka $\overline{AD}$. Pravac paralelan osnovicama kroz sjecište dijagonala siječe krak $\overline{AD}$ u točki $E$. Dokaži da je $\measuredangle BEC = 90^{\circ}$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi koji zadovoljavaju jednakost $$|a + b| + |a + c| + |b + c| = 8.$$ Odredi najveću i najmanju moguću vrijednost izraza $$a^{2} + b^{2} + c^{2}$$ te odredi kada se ona postiže.

U nekom jeziku svaka je riječ niz slova $a$ i $b$. Svaka riječ ima barem jedno i najviše 13 slova, no nisu svi takvi nizovi riječi. Poznato je da nadovezivanjem jedne riječi na drugu nikad ne dobivamo riječ. Odredi najveći mogući broj riječi u tom jeziku.

Odredi najmanju vrijednost izraza $$|x + 1| + |x - 2| + |x - 3|,$$ pri čemu je $x$ realni broj.

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$n^2 + n = k^2 + 2k - 9.$$

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle BAC = 60°$ i $|AB| > |AC|$. Ako je $I$ središte upisane kružnice, a $H$ ortocentar tog trokuta, dokaži da je $2\measuredangle AHI = 3\measuredangle ABC$.

Odredi sve realne brojeve $a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_{2020} \geqslant 0$ za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2020} = 1 \quad \text{i} \quad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{2020}^2 = a_1.$$

Ana je prekrila ploču dimenzija $2020 \times 2020$ domino pločicama koje se međusobno ne preklapaju, a svaka od njih prekriva točno dva polja ploče. Branka želi obojiti te pločice tako da za svaku vrijedi: među njoj susjednim pločicama najviše su dvije u boji promatrane. Dvije pločice su susjedne ako prekrivaju polja koja imaju zajedničku stranicu.

Koliko je najmanje boja potrebno da bi Branka sigurno mogla obojiti pločice na takav način, neovisno o načinu na koji ih je Ana rasporedila?

Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom. U trenutku kad prednji kraj vlaka dođe do njih, Ana krene stalnom brzinom u smjeru kretanja vlaka, a Vanja istom brzinom u suprotnom smjeru. Svaka od njih se zaustavlja u trenutku kad stražnji kraj vlaka prođe kraj nje. Ana je ukupno prošla 45 metara, a Vanja 30 metara. Koliko je dugačak vlak?

U pravokutnom trokutu duljine svih stranica su prirodni brojevi, a polumjer upisane kružnice iznosi 4. Odredi sve moguće vrijednosti duljina kateta tog trokuta.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{1 + 9a^2}{1 + 2a + 2b^2 + 2c^2} + \frac{1 + 9b^2}{1 + 2b + 2c^2 + 2a^2} + \frac{1 + 9c^2}{1 + 2c + 2a^2 + 2b^2} < 4.$$

Neka je $k > 1$ prirodan broj. Dano je $k + 2$ međusobno različitih prirodnih brojeva manjih od $3k + 1$. Dokaži da među njima postoje dva čija je razlika veća od $k$ i manja od $2k$.

U jednakokračnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$ i $\measuredangle BAC < 60°$. Neka je točka $D$ na dužini $\overline{AC}$ takva da je $\measuredangle DBC = \measuredangle BAC$, neka je $E$ sjecište simetrale dužine $\overline{BD}$ i paralele s $BC$ kroz točku $A$ te neka je $F$ točka na pravcu $AC$ takva da se $A$ nalazi između $C$ i $F$ i vrijedi $|AF| = 2|AC|$.

(a) Dokaži da su pravci $BE$ i $AC$ paralelni.

(b) Dokaži da se okomica iz $F$ na $AB$ i okomica iz $E$ na $AC$ sijeku na pravcu $BD$.

U (b) dijelu zadatka dozvoljeno je korištenje tvrdnje iz (a) čak i ako nije dokazana.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x, y, z)$ koje zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x &+ y \; - z &= -1 \\ x^2 &- y^2 + z^2 &= \phantom{-}1 \\ -x^3 &+ y^3 + z^3 &= -1. \end{aligned}$$

Neka su $D_0, D_1, \ldots, D_{2018}$ točke na dužini $\overline{AB}$ takve da je $D_0 = A$, $D_{2018} = B$ i $$|D_0D_1| = |D_1D_2| = \cdots = |D_{2017}D_{2018}|.$$

Ako je $C$ točka takva da je $\angle BCA = 90^\circ$, dokaži da vrijedi $$|CD_0|^2 + |CD_1|^2 + \cdots + |CD_{2018}|^2 = |AD_1|^2 + |AD_2|^2 + \cdots + |AD_{2018}|^2.$$

Dani su prosti broj $p$ i prirodni broj $n \geqslant p-1$. Ako je broj $np+1$ kvadrat nekog prirodnog broja, dokaži da je broj $n+1$ zbroj kvadrata nekih $p$ prirodnih brojeva.

U trokutu $ABC$ je $\measuredangle CAB = 2\measuredangle ABC$. Točka $D$ nalazi se unutar trokuta $ABC$, a pritom vrijedi $|AD| = |BD|$ i $|CD| = |AC|$. Dokaži da je $\measuredangle ACB = 3\measuredangle DCB$.

Za prirodne brojeve raspoređene ukrug kažemo da su u cik-cak rasporedu ako je svaki broj ili veći ili manji od oba svoja susjeda. Za par susjednih brojeva kažemo da je dobar ako su nakon njegovog uklanjanja preostali brojevi također u cik-cak rasporedu.

Brojevi od 1 do 300 raspoređeni su u cik-cak raspored. Koliki je najmanji mogući broj dobrih parova susjednih brojeva?

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, onda je $\overline{\overline{a.b}}$ decimalni broj dobiven tako da iza broja $a$ zapišemo decimalnu točku i nakon toga broj $b$. Na primjer, ako je $a = 20$ i $b = 17$, onda je $\overline{\overline{a.b}} = 20.17$ i $\overline{\overline{b.a}} = 17.2$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $\overline{\overline{a.b}} \cdot \overline{\overline{b.a}} = 13$.

Neka su $a$ i $b$ cijeli brojevi različite parnosti. Dokaži da postoji cijeli broj $c$ takav da su brojevi $ab + c$, $a + c$ i $b + c$ kvadrati cijelih brojeva.

Ako su $x$, $y$, $z$ i $w$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{x}{y + z + w} + \frac{y}{z + w + x} + \frac{z}{w + x + y} + \frac{w}{x + y + z} = 1,$$

odredi

$$\frac{x^2}{y + z + w} + \frac{y^2}{z + w + x} + \frac{z^2}{w + x + y} + \frac{w^2}{x + y + z}.$$

Unutar trokuta $ABC$ dana je točka $P$ takva da je

$$\measuredangle ABP = \measuredangle PCA = \frac{1}{3} (\measuredangle ABC + \measuredangle BCA).$$

Dokaži da je $\frac{|AB|}{|AC| + |PB|} = \frac{|AC|}{|AB| + |PC|}$.

Dokaži da ne postoje prosti broj $p$ i prirodni brojevi $a$ i $n$ ($n \geqslant 2$) takvi da vrijedi

$$2^p + 3^p = a^n.$$