Croatian Competitions

Neka je $$A = \frac{\sin 1°}{\cos 0° \cos 1°} + \frac{\sin 5°}{\cos 2° \cos 3°} + \cdots + \frac{\sin 177°}{\cos 88° \cos 89°}$$ i $$B = \operatorname{tg} 91° + \operatorname{tg} 92° + \cdots + \operatorname{tg} 179° + \operatorname{tg} 180°.$$ Izračunaj $A + B$.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\left(2 + \sqrt{5}\right)^{x^2 - 4x + 2} + \left(\sqrt{5} - 2\right)^{x^2 - 4x + 2} = 18.$$

Postoje li prirodni brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da su $$\log_a (bc + 1), \quad \log_b (ca + 1) \quad \mathrm{i} \quad \log_c (ab + 1)$$ također prirodni brojevi?

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|BC| < |CA|$. Središte njegove upisane kružnice je točka $I$, a $k$ mu je opisana kružnica. Neka su $M$ i $N$ redom polovišta kraćih lukova nad tetivama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ kružnice $k$. Pravac kroz $C$ paralelan s $MN$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $P$. Pravac $PI$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $T$. Dokaži da vrijedi $$|MP| \cdot |MT| = |NP| \cdot |NT|.$$

Na pravcu $p$ označeno je 2026 točaka na jednakim razmacima. U jednoj poluravnini (s iste strane pravca $p$) označene su sve točke koje zajedno s dvjema označenim točkama pravca $p$ čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Neka je $\mathcal{T}$ skup svih označenih točaka, uključujući one na pravcu $p$.

Josip može brisati točke skupa $\mathcal{T}$ tako da u svakom koraku obriše po tri točke koje su vrhovi nekog jednakostraničnog trokuta. Korak ponavlja sve dok mu ne ostane točno jedna točka. Točka skupa $\mathcal{T}$ koja može ostati posljednja neobrisana naziva se Josipova.

Odredi broj Josipovih točaka.

Odredi sve parove pozitivnih realnih brojeva $(x,y)$ koji su rješenja sustava jednadžba $$x^{x+y} = y^{180}$$ $$y^{x+y} = x^{45}.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Svakom je vrhu kvadrata pridružen cijeli broj. Broj pridružen vrhu može se zamijeniti zbrojem brojeva pridruženih dvama od ostalih vrhova.

Dokaži da je uvijek (neovisno o odabiru početnih brojeva pridruženih vrhovima) nizom opisanih zamjena moguće postići da brojevi pridruženi svim četirima vrhovima budu djeljivi s $n$.

Tablica dimenzija $2025 \times 2025$ popunjena je tako da se u polju u $i$-tome retku i $j$-tome stupcu nalazi broj $i + j - 1$, za sve $i, j \in \{1, 2, \ldots, 2025\}$. Odabrano je 2025 polja koja se nalaze u različitim retcima i različitim stupcima.

Koja je najmanja moguća vrijednost umnoška brojeva na odabranim poljima?

Neka je $D$ točka unutar trokuta $ABC$ i neka je $E$ točka na dužini $\overline{AD}$ različita od $A$ i $D$. Opisane kružnice trokuta $BDE$ i $CDE$ sijeku stranicu $\overline{BC}$ redom u točkama $F$ i $G$. Neka je $X$ sjecište pravaca $DG$ i $AB$, a $Y$ sjecište pravaca $DF$ i $AC$.

Dokaži da su pravci $XY$ i $BC$ paralelni.

Za različite prirodne brojeve $m$ i $n$ kažemo da su prijatelji ako postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ koji nisu djeljivi sa 101 takvi da je $$\frac{(m!)^n}{(n!)^m} = \frac{a}{b}.$$

Postoji li prosti broj koji ima točno 12 prijatelja?

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\log_2(4^x + 2^x) + \log_{(4^x + 2^x)}2 = 2.$$

Postoje li realni brojevi $x, y \in \langle 0, \frac{\pi}{2} \rangle$ takvi da su $$\frac{1}{\sin x}, \quad \frac{1}{\sin y} \quad \text{i} \quad \frac{1}{\sin(x + y)}$$ prirodni brojevi?

Dan je jednakostranični trokut $ABC$. Dužina $\overline{AD}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$, a pritom je $\measuredangle BAD = 20°$ i $|DE| = |AB|$. Odredi $\measuredangle ADB$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $1 < a < b$ i da vrijedi $$a + b \mid ab + 1 \quad \text{i} \quad b - a \mid ab - 1.$$

Dokaži da je $b < a\sqrt{3}$.

U igri za dva igrača koristi se 101 praznih kutija i dovoljna količina žetona. Igrači, Ema i Lovro, naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu, igrač stavlja po jedan žeton u sto različitih kutija. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza u jednoj od kutija bude 201 žeton. Ako Ema igra prva, koji od igrača može osigurati pobjedu?

Koliko ima prirodnih brojeva $n$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina

$$3, \quad \log_2 n \quad \text{i} \quad \log_4 n \quad ?$$

Označimo s $\tau(n)$ broj prirodnih djelitelja broja $n$. Prirodni brojevi $a$ i $b$ zadovoljavaju jednakost

$$a + \tau(a) = b^2 + 2.$$

Dokaži da je broj $a + b$ paran.

Dan je trokut $ABC$. Neka je točka $D$ nožište visine iz vrha $A$, a točka $E$ sjecište simetrale kuta $\measuredangle CBA$ s nasuprotnom stranicom. Ako je $\measuredangle BEA = 45°$, odredi $\measuredangle EDC$.

Odredi najmanji prirodan broj $n$ za koji postoje realni brojevi $x_1, \ldots, x_n \in [1, 4]$ koji zadovoljavaju nejednakosti:

$$\begin{aligned} x_1 + x_2 + \ldots + x_n &\geq \frac{7}{3} n, \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} &\geq \frac{2}{3} n. \end{aligned}$$

Na ploči dimenzija $3 \times 2023$ koja je na početku prazna igra se igra za dva igrača koji naizmjence vuku poteze. U pojedinom potezu igrač odabire dva prazna polja koja se nalaze u istom retku ili istom stupcu te stavlja po jedan žeton na ta polja. Gubi igrač koji ne može odigrati dopušteni potez.

Ako Kristina igra prva, a Ana druga, koja od njih može osigurati svoju pobjedu?

Odredi sve realne brojeve $a$ takve da nejednakost $$\cos(2x) + 2a\cos x + 7 \geq 0$$ vrijedi za sve realne brojeve $x$.

Odredi sve prirodne brojeve $a$ i $b$ takve da je $$a^2 = 4b + 3 \cdot V(a, b),$$ pri čemu $V(m,n)$ označava najmanji zajednički višekratnik brojeva $m$ i $n$.

Na stranici $\overline{AB}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ nalazi se točka $D$. Neka su $X$ i $Y$ redom središta kružnica opisanih trokutima $ADC$ i $BCD$. Dokaži da vrijedi $$P(XDY) \geq \frac{1}{4} P(ABC),$$ gdje je $P(KLM)$ površina trokuta $KLM$. Kada vrijedi jednakost?

U ravnini kvadrata $ABCD$, ali izvan njega, nalazi se točka $P$. Ako je $$|PA| = \sqrt{5}, \quad |PB| = \sqrt{26} \quad \text{i} \quad |PD| = \sqrt{20},$$ odredi duljinu stranice kvadrata.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje ne postoje prirodni brojevi $a, b, c$ takvi da je $n = a^2 + b^3 + c^6$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ među čijim djeliteljima postoje djelitelji $a$ i $b$ takvi da je $$a + b = n - 1.$$

Neka je $\alpha = \frac{2\pi}{2021}$. Izračunaj $$\cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \ldots \cdot \cos 1010\alpha.$$

Na kraćem luku $\widehat{CD}$ kružnice opisane kvadratu $ABCD$ nalazi se točka $M$. Neka su $P$ i $Q$ redom sjecišta pravca $AM$ s $\overline{BD}$ i $\overline{CD}$ te neka su $R$ i $S$ redom sjecišta pravca $BM$ s $\overline{AC}$ i $\overline{CD}$. Dokaži da su dužine $\overline{PS}$ i $\overline{QR}$ međusobno okomite.

Zapisan je niz od $n$ realnih brojeva među kojima je barem jedan pozitivan. Od članova tog niza označeni su

(a) svi pozitivni brojevi te

(b) svi brojevi kojima započinje neki niz uzastopnih članova tog niza pozitivnog zbroja.

Dokaži da je zbroj svih označenih brojeva pozitivan.

U raznostraničnom trokutu $ABC$ duljine dviju visina jednake su duljinama dviju težišnica. Koliki je omjer duljina preostale visine i preostale težišnice?

Ako funkcija $f$ zadovoljava uvjete

(a) $f(1) = 1$,

(b) $f(x + y) = f(x) + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbf{R}$,

(c) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^2}, \quad \forall x \in \mathbf{R}, \quad x \neq 0$,

koliko je $f(\sqrt{1996})$?

Za koje realne brojeve $a$, $b$ su moduli svih korijena jednadžbe $z^3 + az^2 + bz - 1 = 0$ jednaki $1$?

Neka je $A_1A_2A_3A_4$ konveksan četverokut, $S$ sjecište njegovih dijagonala. Označimo sa $s_k$ površinu trokuta $A_kSA_{k+1}$, ($A_5 = A_1$), $k = 1, 2, 3, 4$. Dokažite da je $$s_2^2 = s_1 s_3 \quad \text{i} \quad 2 s_4 = s_1 + s_3$$ ako i samo ako je $A_1A_2A_3A_4$ paralelogram.

Neka je $\overline{OA}$ polumjer i $\overline{OB}$ tetiva kružnice $k$ polumjera $R$, $C$ sjecište pravca $OB$ i tangente na $k$ u točki $A$, $T$ točka na dužini $\overline{OB}$ takva da je $|OT| = |BC|$ i $T'$ projekcija od $T$ na $\overline{OA}$. Izrazite $y = |T'T|$ kao funkciju od $x = |OT'|$.

Neka su $a, b, c$ kompleksni brojevi takvi da je $|a| = |b| = |c| = 1$.

(a) Ako je $a + b + c \neq 0$, pokažite da je $$\left| \frac{bc + ca + ab}{a + b + c} \right| = 1.$$

(b) Pokažite da je $$\frac{(b + c)(c + a)(a + b)}{abc}$$ realan broj.

Za koje cijele brojeve $x$ izraz $x^2 + 1$ dijeli $x^3 - 8x^2 + 2x$?

Zadan je trokut $ABC$ s visinama $h_a, h_b, h_c$. Sjecišta simetrala kutova s nasuprotnim stranicama označimo s $D, E, F$, a udaljenosti točaka $D, E, F$ od pravaca $AB, BC, CA$ redom sa $d_a, d_b, d_c$. Dokažite nejednakost $$\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} \geq \frac{3}{2}.$$

Na željezničkoj pruzi dugačkoj $56$ km ima $11$ postaja $A_1, A_2, \ldots, A_{11}$. Udaljenosti oblika $d(A_i, A_{i+2})$, $(i = 1, 2, \ldots, 9)$ nisu veće od $12$ km, a udaljenosti oblika $d(A_i, A_{i+3})$, $(i = 1, 2, \ldots, 8)$ nisu manje od $17$ km. Kolika je udaljenost $d(A_2, A_7)$?

Odredite sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$|z^2 + 1| = 2|z| \quad \text{i} \quad |z - 3i| = \sqrt{10}.$$

Neka je $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ kvadratna funkcija $f(x) = ax^2 + bx + c$. Označimo sa $D$ diskriminantu, sa $P$ umnožak, a sa $S$ zbroj njezinih nultočaka. Pokažite da postoji samo jedna funkcija $f$ za koju su $a, D, P, S$ četiri uzastopna cijela broja (u rastućem poretku).

Odredite šiljaste kutove pravokutnog trokuta kojemu se polumjeri opisane i upisane kružnice odnose kao $5:2$.

Riješite jednadžbu $$\frac{3}{2} \log_{\frac{1}{4}}(x + 2)^2 - 3 = \log_{\frac{1}{4}}(4 - x)^3 - \log_4(x + 6)^3.$$

Riješite u skupu $\mathbf{R}$ nejednadžbu $$\left| \frac{4^x - 2^{x+1} - 2}{2^x - 4} \right| < 1.$$

Odredite sve trojke prirodnih brojeva $x, y, z$ za koje vrijedi $$\frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2} = 1.$$

Dane su točke $A$ i $B$ u ravnini. Dokažite da je geometrijsko mjesto točaka $M$ takvih da je $|AM|^2 - |BM|^2 = k$ (gdje je $k$ dani broj), pravac okomit na pravac $AB$.

Oko kružnice su na bilo koji način opisani trokut i kvadrat. Dokažite da je duljina dijela opsega kvadrata unutar trokuta veća od dijela izvan njega.

Kolike su duljine kateta pravokutnog trokuta kojemu je $c$ duljina hipotenuze, a $\rho$ polumjer upisane kružnice.

Neka su $z_1, z_2, z_3, z_4$ kompleksni brojevi redom u $I, II, III, IV$ kvadrantu kompleksne ravnine i $\alpha_i = |z_i - z_{i+1}| - |z_i + z_{i+1}|$, $z_5 = z_1$, $i = 1, 2, 3, 4$. Dokaži da je bar jedan od brojeva $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ nenegativan.

Za koje vrijednosti realnog broja $a$ jednadžba $$2x^2 + x + \log_a(a - 2) = 0$$ ima realna rješenja po apsolutnoj vrijednosti većoj od $\frac{1}{2}$.

U ravnini su dane $1992$ točke od kojih nikoje tri ne leže na istom pravcu. Dokaži da postoji $498$ četverokuta kojima su te točke vrhovi takvi da se nikoja dva na sijeku.