Croatian Competitions

Odredite najveći prirodni broj $n$ takav da $n^2 + 2007n$ bude kvadrat nekog prirodnog broja.

Odredi sve troznamenkaste brojeve $\overline{xyz}$ ($x$, $y$, $z$ su dekadske znamenke) koji su jednaki izrazu $x + y + z + xy + yz + zx + xyz$.

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}.$$ Dokaži da je $a + \frac{1}{b} = -abc$.

Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

Odredite sve brojeve čiji je zapis u dekadskom sustavu oblika $\overline{13xy45z}$, gdje su $x$, $y$ i $z$ nepoznate znamenke, koji su djeljivi sa $792$.

Spojnice središta trokuta upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

Koju najveću vrijednost može poprimiti izraz $$\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n},$$ ako su $k$, $m$, $n$ prirodni brojevi takvi da je $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} < 1$.

Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a $R$ je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi $R = \dfrac{a\sqrt{bc}}{b+c}$.

Odredite sva realna rješenja sustava jednadžbi $$x^2 - y^2 = 2(xz + yz + x + y),$$ $$y^2 - z^2 = 2(yx + zx + y + z),$$ $$z^2 - x^2 = 2(zy + xy + z + x).$$

Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $$|BC|^2 + |AC|^2 = 5|AB|^2.$$

Dokažite da za svaka tri realna broja $x, y, z$ vrijedi nejednakost $$|x| + |y| + |z| - |x + y| - |y + z| - |z + x| + |x + y + z| \geq 0.$$

Niz znamenaka $1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, \ldots$ konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke.

a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2, 0, 0, 4$, tim redom?

b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1, 2, 3, 4$, tim redom?

Dokažite da trokut čije su duljine stranica prosti brojevi ne može imati cjelobrojnu površinu.

Produkt pozitivnih realnih brojeva $x$, $y$ i $z$ jednak je $1$. Ako je $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq x + y + z,$$ dokažite da je $$\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geq x^k + y^k + z^k,$$ za svaki prirodan broj $k$.

U jednakokračnom trokutu duljina osnovice je $a$, duljina kraka $b$, duljina visine na osnovicu $v$, pri čemu vrijedi: $\dfrac{a}{2} + v \geq b\sqrt{2}$. Odredite kutove trokuta. Kolika je površina trokuta ako je $b = 8\sqrt{2}$?

Koliko ima djelitelja broja $30^{2003}$ koji nisu djelitelji broja $20^{2000}$?

Duljina srednjice trapeza je $4$ a kutovi uz jednu osnovicu su $40°$ i $50°$. Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka $1$.

Dokažite da za bilo koje pozitivne brojeve $a$, $b$, $c$ i bilo koji nenegativan pozitivan broj $p$ vrijedi nejednakost $$a^{p+2} + b^{p+2} + c^{p+2} \geq a^p b c + b^p c a + c^p a b.$$

Nadite sve trojke $(x, y, z)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$2x^2 y^2 + 2y^2 z^2 + 2z^2 x^2 - x^4 - y^4 - z^4 = 576.$$ Naputak: Izraz s lijeve strane jednadžbe rastavite na faktore.

"Kolo sreće" podijeljeno je na $30$ odjeljaka u koje su upisani brojevi $50$, $100$, $150$, ..., $1500$ (u nekom redoslijedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj upisanih brojeva veći ili jednak $2350$.

Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?

Sjecište dijagonala kvadrata $ABCD$ je točka $S$, dok je točka $P$ polovište stranice $\overline{AB}$. Neka je $M$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{PD}$, a $N$ sjecište dužina $\overline{BD}$ i $\overline{PC}$. Četverokutu $PMSN$ upisana je kružnica. Dokažite da je njen polumjer jednak $|MP| - |MS|$.

Dokažite da za pozitivne realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi nejednakost $$\sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}} \leq \sqrt[3]{2(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)}.$$

Za koje se prirodne brojeve $n$ pravokutna ploča $9 \times n$ može prekriti pločicama oblika $$\square\llap{\raisebox{-1.5ex}{$\square$}}\kern-0.15em\square$$ tako da se one međusobno ne preklapaju?

Riješite jednadžbu $$\frac {1}{x} + \frac {2}{y} - \frac {3}{z} = 1$$ u skupu prirodnih brojeva.

Kružnica upisana u trokut $ABC$ dodiruje njegove stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ u točkama $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Izrazite kutove trokuta $A_{1}B_{1}C_{1}$ pomoću kutova trokuta $ABC$.

Neka je $m \geq 2$ prirodan broj. Koliko rješenja u skupu prirodnih brojeva ima jednadžba $$\left\lfloor \frac {x}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac {x}{m - 1} \right\rfloor ?$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Na raspolaganju su kovanice od $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ polumjera $r_1 = 6$ i $r_2 = 3$ dodiruju se izvana. Obje kružnice dodiruju iznutra kružnicu $k$ polumjera $r = 9$. Zajednička vanjska tangenta kružnica $k_1$ i $k_2$ siječe kružnicu $k$ u točkama $P$ i $Q$. Izračunajte duljinu tetive $\overline{PQ}$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\frac{a^3}{a^2 + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + c^2} + \frac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \frac{1}{2}.$$

Dokažite da je za svaki $a \in (1,2)$ površina lika kojeg omeđuju grafovi funkcija $$y = 1 - |x - 1| \quad \text{i} \quad y = |2x - a|,$$ manja od $\dfrac{1}{3}$.

Dana je trojka $(a_1, a_2, a_3) = (3, 4, 12)$. Provodimo sljedeći postupak: biramo dva broja $a_i$ i $a_j$, $(i \neq j)$, te ih zamijenimo sa $0.6a_i - 0.8a_j$ i $0.8a_i + 0.6a_j$. Može li se višekratnom primjenom gore opisanog postupka dobiti trojka $(2, 8, 10)$?

Što je veće $$A = \frac{2.00\dots004}{(1.00\dots004)^2 + 2.00\dots004} \quad \text{ili} \quad B = \frac{2.00\dots002}{(1.00\dots002)^2 + 2.00\dots002},$$ gdje u svakom broju u brojniku i nazivniku ima po $1998$ nula?

Nađite sve prirodne brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$10(m + n) = mn.$$

Ivan i Krešo, pošli su istodobno iz Crikvenice u Kraljevicu, čija je udaljenost $15\,\text{km}$, a Marko je u isto vrijeme krenuo iz Kraljevice u Crikvenicu. Sva trojica imala su jedan bicikl i put su prevaljivali pješačenjem brzinom od $5\,\text{km/h}$ ili biciklom brzinom od $15\,\text{km/h}$. Ivan je pošao pješice, dok je Krešo vozio bicikl sve dok se nije sreo s Markom. Tada je Krešo dao bicikl Marku i nastavio put prema Kraljevici pješice, a Marko je nastavio put prema Crikvenici biciklom. Kada je sreo Ivana dao mu je bicikl i ovaj je vozeći se stigao u Kraljevicu, dok je Marko pješice nastavio put do Crikvenice. Koliko vremena je svaki od njih trebao da dođe do svog cilja, koliko je pješačio, a koliko vozio bicikl?

Izračunajte površinu šrafiranog lika na slici ako stranica pravilnog šesterokuta ima duljinu $a$.

Neka je $n$ prirodan broj. Nadite sva rješenja jednadžbe $$\left| \left| \dots \right| \right| | x - 1 | - 2 | - 3 | - \dots - (n - 1) | - n | = 0.$$

Zadani su realni brojevi $a < b < c < d$. Odredite sve mogućnosti izbora brojeva $p, q, r, s$ za koje je $\{a, b, c, d\} = \{p, q, r, s\}$, a vrijednost izraza $$(p - q)^{2} + (q - r)^{2} + (r - s)^{2} + (s - p)^{2}$$ je najmanja.

Zadane su kružnica i tetiva koja dijeli njezinu nutrinu na dva kružna odsječka. U njih su upisane kružnice $k_{1}$ i $k_{2}$ koje iznutra diraju kružnicu $k$, i danu tetivu diraju u istoj točki s raznih njezinih strana. Dokažite da je omjer polumjera kružnica $k_{1}$ i $k_{2}$ konstantan, tj. da ne ovisi o položaju zajedničkog dirališta s tetivom.

Na beskonačnom bijelom papiru podijeljenom na jednake kvadratiće neki od njih su obojeni crvenom bojom. U svakom $2 \times 3$ pravokutniku točno dva kvadratića su crvena. Promatrajte bilo koji $9 \times 11$ pravokutnik. Koliko u njemu ima crvenih kvadratića?

Dokažite da je izraz $$a^4 - 10a^2 + 9$$ djeljiv s $1920$ za svaki prosti broj $a > 5$.

Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ zadovoljavaju relaciju $a + b + c + d = 0$. Neka je $S_1 = ab + bc + cd$ i $S_2 = ac + ad + bd$. Pokažite da je $$5S_1 + 8S_2 \leq 0 \quad \text{i} \quad 8S_1 + 5S_2 \leq 0.$$

Zadan je konveksan peterokut $ABCDE$. Neka su $M$, $N$, $P$, $Q$ redom polovišta stranica $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$ te neka su $R$ i $S$ polovišta dužina $\overline{MP}$ i $\overline{QN}$. Pokažite da je $$|SR| = \frac{1}{4} |AE|.$$

Četiri kružnice polumjera $a$ sa središtima u vrhovima kvadrata stranice duljine $a$, dijele taj kvadrat na devet područja. Odredite površinu svakog od pojedinih područja ako je dana površina $Q$ kvadrata, površina $K$ kruga polumjera $a$ i površina $T$ jednakostraničnog trokuta duljine stranice $a$.

U pravokutni trokut $ABC$ s duljinom hipotenuze $c$ i pripadnom visinom $h$ upisan je kvadrat $DEFG$ sa dva susjedna vrha $D, E$ na hipotenuzi $\overline{AB}$ i po jednim vrhom $F$ i $G$ na katetama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$. Izračunajte duljinu $x$ stranice tog kvadrata i dokažite jednakost $|AD| \cdot |BE| = x^2$.

Dokažite identitet $$\frac{a_1}{a_2(a_1 + a_2)} + \frac{a_2}{a_3(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_n}{a_1(a_n + a_1)} = \frac{a_2}{a_1(a_1 + a_2)} + \frac{a_3}{a_2(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_1}{a_n(a_n + a_1)}.$$

Nadite sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} - 2\sqrt{2x + 3 - 4\sqrt{2x - 1}} + 3\sqrt{2x + 8 - 6\sqrt{2x - 1}} = 4.$$

Dokažite da postoji broj oblika $\overline{.\,.\,.\,.\,1995}$ djeljiv sa $1999$.

Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn^2} = \frac{3}{4}.$$