Croatian Competitions

Riješi sustav jednadžbi $$\frac {\log_ {2} x}{\log_ {x} 2} - \log_ {2} y ^ {2} = 3, \quad \frac {\log_ {2} y}{\log_ {y} 2} - \log_ {2} x ^ {2} = 3.$$

Odredi sva rješenja sustava nejednadžbi $$\begin{aligned} (\sin x + \cos y + 1)^{2} &\geqslant 2(\sin x + 1)(\cos y + 1) \\ (\sin y + \cos z + 1)^{2} &\geqslant 2(\sin y + 1)(\cos z + 1) \\ (\sin z + \cos x + 1)^{2} &\geqslant 2(\sin z + 1)(\cos x + 1) \end{aligned}$$ za koja vrijedi $0 < x, y, z < \dfrac{\pi}{2}$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je broj $1 + \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ djelitelj broja $n$.

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji je manji ili jednak $t$. Na primjer, $\lfloor 2 \rfloor = 2$ i $\lfloor \pi \rfloor = 3$.

U četverokutu $ABCD$ vrijedi $|\measuredangle ABC| = 90°$, $|\measuredangle BCD| = 120°$ i $|\measuredangle CDA| = 90°$. Neka je $M$ sjecište dijagonala $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$. Ako je $|BM| = 1$ i $|MD| = 2$, odredi površinu četverokuta $ABCD$.

Neka je $n$ prirodni broj. U nekoj državi koriste se kovanice svih apoena od $1$ do $n$. Kolekcionar želi dio svojih kovanica rasporediti u pet kutija tako da budu ispunjena sljedeća četiri uvjeta:

• U svakoj je kutiji najviše jedna kovanica svakog apoena.

• U svim je kutijama isti broj kovanica i jednak iznos novca.

• Bilo koje dvije kutije zajedno sadrže barem jednu kovanicu svakog apoena.

• Kovanice niti jednog apoena ne nalaze se u svim kutijama.

Pod pretpostavkom da kolekcionar ima dovoljno kovanica svakog apoena, može li postiči svoj cilj ako je

(a) $n = 109$?

(b) $n = 110$?

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ koji zadovoljavaju

$$2 \cos^2 \left(\frac{x + 2y}{4}\right) = 2^x + 2^{-x}.$$

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\left| 8 \cdot 5^m - n^2 \right|,$$

pri čemu su $m$ i $n$ prirodni brojevi.

Dokaži da za svaki prirodan broj $n$ djeljiv s 4 vrijedi

$$\sin^2 \left(\frac{2\pi}{n}\right) + \sin^2 \left(2 \cdot \frac{2\pi}{n}\right) + \cdots + \sin^2 \left((n - 1) \cdot \frac{2\pi}{n}\right) + \sin^2 \left(n \cdot \frac{2\pi}{n}\right) = \frac{n}{2}.$$

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Simetrale šiljastih kutova sijeku nasuprotne stranice u točkama $M$ i $N$. Neka je $P$ sjecište visine iz vrha $C$ s dužinom $\overline{MN}$. Dokaži da je duljina $|CP|$ jednaka polumjeru upisane kružnice trokuta $ABC$.

U ravnini je dano osam točaka koje su vrhovi pravilnoga osmerokuta. Svake dvije točke spojene su dužinom. U svakome potezu odabiru se tri točke te se brišu tri dužine kojima su te točke krajnje. Koliki je najmanji mogući broj preostalih dužina u trenutku kad nije više moguće napraviti takav potez?

Za koje realne brojeve $x$ vrijedi $$5^{2x} + 4^x < 29 \cdot 10^{x-1}?$$

Neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke na opisanoj kružnici šiljastokutnog trokuta $ABC$ takve da su $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$ i $\overline{CC_1}$ promjeri te kružnice. Dokaži da vrijedi $$|A_1B| \cdot |B_1B| + |B_1C| \cdot |C_1A| = |AC| \cdot |BC|.$$

Odredi sve uređene trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje je $2^a + 2^b + 2^c + 3$ kvadrat nekoga prirodnog broja.

Dokaži da je zbroj $$\frac{\cos 3^\circ}{\cos 6^\circ - \cos 2^\circ} + \frac{\cos 5^\circ}{\cos 10^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos(2n + 1)^\circ}{\cos(4n + 2)^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos 89^\circ}{\cos 178^\circ - \cos 2^\circ}$$ jednak $$\frac{\sin 2^\circ - 1}{4 \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ}.$$

Na karticama su zapisani svi prirodni brojevi od 1 do $2024^2$. Zbroj svih tih brojeva iznosi $2024A$. Manuel je odabrao $2024$ kartice s brojevima čiji je zbroj jednak $A$. Dokaži da Neva može preostale kartice rasporediti u $2023$ skupine tako da u svakoj skupini budu po $2024$ kartice i da zbroj brojeva na karticama u svakoj skupini bude jednak $A$.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$1225 \cdot 5^{x^2 - 3x} = 7^{x + 1}.$$

Ovisno o realnom parametru $p$ odredi broj rješenja jednadžbe $\cos 2x = p(\sin x + \cos x)$ na intervalu $[0, 2\pi]$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $\measuredangle ACB = 60^\circ$, $|AC| = \sqrt{3} - 1$ i $|BC| = 2$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle ACM$.

Odredi sve racionalne brojeve $x$ za koje vrijedi $$x \cdot \lfloor x \rfloor \cdot (x - \lfloor x \rfloor) = 254.$$

Za racionalni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ najveći je cijeli broj koji nije veći od $t$. Na primjer, $\lfloor 3.14 \rfloor = 3$, $\lfloor -3.14 \rfloor = -4$.

Dana je ploča $n \times n$, obojana poput šahovske, pri čemu je gornje lijevo polje crne boje. Azra u svakom koraku bira šest polja ploče koja tvore $2 \times 3$ ili $3 \times 2$ pravokutnik i sadrže točno tri bijela polja, te ta tri polja zacrni. Za koje $n$ Azra može postići da sva polja budu crne boje?

Odredi sve realne brojeve $x, y$ za koje vrijede jednakosti $$x^{\log y} + \sqrt{y^{\log x}} = 110 \quad \text{i} \quad xy = 1000.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $\alpha, \beta \in \left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ vrijedi $$\frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos \beta} \geqslant 2\sqrt{\tan \alpha + \tan \beta}.$$ Kada vrijedi jednakost?

U trokutu $ABC$ točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a točka $D$ sjecište stranice $\overline{AC}$ i simetrale kuta $\measuredangle ABC$. Ako je $\measuredangle MDB = 90°$, dokaži da vrijedi $|AB| = 3|BC|$.

Postoji li pet međusobno različitih prirodnih brojeva takvih da je zbroj bilo kojih triju od njih djeljiv zbrojem preostalih dvaju?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje se svi elementi skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ mogu raspodijeliti na $k$ međusobno disjunktnih skupova koji imaju jednak broj elemenata, tako da svaki od tih skupova sadrži aritmetičku sredinu svojih elemenata ako je

a) $k = 2$,

b) $k = 3$.

Dokaži da ortocentar šiljastokutnog trokuta s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ dijeli visinu iz vrha kuta mjere $\alpha$ u omjeru $\cos \alpha : (\cos \beta \cos \gamma)$.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x, y)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$(4^x + 1)(9^y + 1) + 70 = 10(2^x + 1)(3^y + 1).$$

Središte $I$ upisane kružnice i središte $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ su osnosimetrične točke u odnosu na pravac $AB$. Točka $D$ je drugo sjecište pravca $AO$ i opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da vrijedi $|CA| \cdot |CD| = |AB| \cdot |AO|$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $2^m - 63$ kub nekog cijelog broja.

U nekom arhipelagu je $n$ otoka među kojima prometuju dvosmjerne brodske i avionske linije. Između svaka dva otoka postoji točno jedna direktna linija – ili brodka, ili avionska. Kažemo da je arhipelag uredno povezan ako svako kružno turističko putovanje koje počinje i završava na istom otoku koristi paran broj avionskih linija.

Za koje prirodne brojeve $n$ svaki uredno povezan arhipelag s $n$ otoka ima paran broj avionskih linija?

Duljina jedne stranice trokuta jednaka je aritmetičkoj sredini duljina drugih dviju stranica. Dokaži da mjera srednjeg (po veličini) kuta tog trokuta nije veća od $60^{\circ}$.

Odredi najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\frac {1}{\sin^ {4} x + \cos^ {2} x} + \frac {1}{\sin^ {2} x + \cos^ {4} x}.$$

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje se te vrijednosti postižu.

U trokutu $ABC$, kut u vrhu $C$ je tupi, a točka $D$ je nožište visine iz vrha $C$. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na dužini $\overline{AB}$ i vrijedi $\measuredangle PCB = \measuredangle ACQ = 90^{\circ}$. Dokaži da je

$$| A P | \cdot | D Q | = | P D | \cdot | Q B |.$$

Odredi sve uređene parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje je $(a + b^{2})(a^{2} + b)$ potencija broja $2$.

Baza piramide je pravilni $n$-terokut. Svaka stranica baze obojena je crnom bojom, dok su svaka dijagonala baze i svaki pobočni brid piramide obojeni ili crvenom ili plavom bojom. Odredi najmanji prirodni broj $n \geqslant 4$ za koji nužno postoji trokut čiji vrhovi su vrhovi piramide i kojemu su sve tri stranice jednake boje.

Riješi jednadžbu

$$\cos(2x) + \cos(2y) + 2\sin x \sin y + 2\cos x \cos y = 4.$$

Četiri sfere polumjera $R$ leže na bazi stošca tako da svaka dodiruje dvije od preostalih sfera te plašt stošca. Peta sfera istog polumjera dodiruje prve četiri sfere i plašt stošca. Odredi volumen tog stošca.

Odredi sve uređene parove $(m,n)$ prirodnih brojeva za koje postoji prost broj $p$ takav da vrijedi

$$9^m + 3^m - 2 = 2p^n.$$

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $T$ takva da vrijedi $|AT| = 56$, $|BT| = 40$, $|CT| = 35$. Nožišta okomica iz točke $T$ na stranice trokuta $ABC$ vrhovi su jednakostraničnog trokuta. Odredi kut $\measuredangle ABC$.

Za par brojeva $\{a, b\}$ kažemo da ima težinu $|a - b|$. Na koliko se načina skup $\{1, 2, \ldots, 12\}$ može razdijeliti na šest parova tako da ukupan zbroj težina tih parova bude $30$?

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ takvih da je $x,y \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ za koje vrijedi

$$\frac{2 \sin^2 x + 2}{\sin x + 1} = 3 + \cos (x + y).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{3} ab, \quad a^2 - b^2 + c^2 = \sqrt{2} ac.$$

Odredi omjer $b : c$.

Odredi sve prirodne brojeve koji su kvadrati prirodnih brojeva i u čijem su dekadskom zapisu dvije znamenke različite od $0$, a jedna od te dvije je $3$.

Na kružnici $k$ nalaze se točke $A$ i $B$, a na manjem luku $\widehat{AB}$ točka $P$. Neka su $Q$ i $R$ točke na $k$, različite od $P$, takve da je $|AP| = |AQ|$ i $|BP| = |BR|$. Neka je $T$ sjecište pravaca $AR$ i $BQ$. Dokaži da su pravci $PT$ i $AB$ međusobno okomiti.

Polja ploče $2 \times 50$ potrebno je obojati u dvije boje, crvenu i plavu, tako da budu zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• na ploči se pojavljuju obje boje
• uklanjanjem svih crvenih polja ploča ostaje povezana
• uklanjanjem svih plavih polja ploča ostaje povezana.

Ploča je povezana ako se od svakog polja može doći do svakog drugog, prelazeći u svakom koraku s polja na njemu susjedno polje. Polja su susjedna ako imaju zajedničku stranicu.

Na koliko je načina to moguće napraviti?

Odredi sve parove $(a, b)$ cijelih brojeva takve da površina trokuta čiji su vrhovi točke u kojima parabola $y = x^2 + ax + b$ siječe koordinatne osi iznosi $3$.

Odredi sve trojke $(a, b, c)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$a^2 + b^2 + c^2 = 1 \quad \text{i} \quad (2b - 2a - c)a \geqslant \frac{1}{2}.$$

Odredi sve četvorke $(a, b, c, d)$ prirodnih brojeva takve da je $$a^3 = b^2, \quad c^5 = d^4 \quad \text{i} \quad a - c = 9.$$

Neka je $O$ središte opisane kružnice, a $H$ ortocentar trokuta $ABC$. Pravac $AO$ siječe opisanu kružnicu u točki $D$. Dokaži da pravac $HD$ prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$.

Na matematičkom natjecanju zadana su $4$ teška i $8$ laganih zadataka. Na natjecanju sudjeluje $n$ učenika, a svaki je učenik ispravno riješio točno $11$ od $12$ zadataka.

Za svaki par teškog i laganog zadatka određen je broj učenika koji su ispravno riješili oba zadatka i zbroj svih tih $32$ brojeva je $256$. Odredi $n$.