Croatian Competitions

Neka je $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ nekonstantan aritmetički niz realnih brojeva takav da postoji prirodni broj $r$ za koji je $$a_{r+1} + a_{r+2} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{3r+2}.$$ Dokaži da niti jedan član tog niza nije jednak 0.

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$. Kružnica sa središtem u $C$ polumjera $|CD|$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $E$ i $F$. Pravac $EF$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $P$. Dokaži da je $P$ polovište dužine $\overline{CD}$.

Za uređenu trojku prirodnih brojeva $(a, b, c)$ kažemo da je morska ako su $a$, $b$ i $c$ međusobno različiti, te je broj $ac$ djeljiv brojevima $a + b$ i $b + c$. Dokaži da

a) za svaki prirodni broj $d > 1$ postoji morska trojka $(a, b, c)$ za koju je $M(a, b, c) = d$.

b) ne postoji morska trojka $(a, b, c)$ za koju je $M(a, b, c) = 1$.

Napomena. $M(a, b, c)$ označava najveći zajednički djelitelj brojeva $a$, $b$ i $c$.

Odredi koliko ima polinoma s realnim koeficijentima $f(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \ldots + a_1x + a_0$ takvih da je $f(2026) = 0$ i da postoji polinom $g(x)$ s realnim koeficijentima takav da jednakost $$(f(x + 1) - f(x)) \cdot g(x) = f(x)$$ vrijedi za svaki realan broj $x$.

Za arhipelag od 2026 otoka kažemo da je dobro povezan ako među svakih pet različitih otoka, postoje tri takva da između svaka dva od njih postoji dvosmjerna brodska linija. Odredi najveći prirodni broj $N$ takav da u svakom dobro povezanom arhipelagu postoji niz od barem $N$ različitih otoka takav da su svaka dva uzastopna, te prvi i posljednji otok u nizu povezani brodskom linijom.

Dokaži da je broj $$102^{102} - 100^{100}$$ djeljiv sa $101^2$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x)) + f(y) = 2y + f(x - y).$$

Neka je $n$ prirodan broj. Za prirodni broj $m$, neka $f_{m}(n)$ označava broj djelitelja broja $n^{m+1}$ koji su veći od $n^m$. Dokaži da postoji prirodni broj $K$ takav da za svaki $m \geqslant K$ vrijedi $f_{m}(n) = f_{m+1}(n)$.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ sa stranicama duljina $|AB| = |AC| = 5$ te $|BC| = 6$. Točka $D$ odabrana je na stranici $\overline{AC}$, a točka $P$ na dužini $\overline{BD}$ tako da je $\measuredangle CPA = 90^\circ$. Ako je $\measuredangle PBA = \measuredangle PCB$, odredi omjer $$\frac{|AD|}{|DC|}.$$

Dana je ploča dimenzija $9 \times 9$ čija su sva polja bijela. Odredi najveći broj polja koja je moguće obojiti u crveno tako da svaki dio ploče dimenzija $2 \times 2$ sadržava najviše dva crvena polja.

Koristeći niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definirana su dva nova niza, $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ i $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tako da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi $$b_n = a_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} a_i, \quad c_n = a_{n+2} - a_{n+1}.$$

Ako je niz $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ aritmetički, dokaži da je $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ geometrijski niz.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x) - y^2) = yf(x^2).$$

Za prirodan broj $n$ neka je $T(n)$ broj uređenih trojki prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ čiji je opseg jednak $n$.

a) Dokaži da je $T(2024) = T(2021)$.

b) Dokaži da je $T(2023) > T(2020)$.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojemu je $|AB| > |AC|$, točka $I$ središte njemu upisane kružnice, a $P$ polovište dužine $\overline{BC}$. Neka je $K$ polovište luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$ koji sadrži točku $A$. Dokaži da vrijedi $\measuredangle BIP + \measuredangle CIK = 180°$.

Neka $d(k)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $k$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\sum_{k=1}^{n} d(k) = d(n!).$$

Za realni broj $c \neq 0$ i prirodni broj $n$, neka je $a_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + cx)^n$, a $b_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + 2cx)^n$. Poznato je da su $a_1$, $a_3$ i $a_4$ uzastopni članovi geometrijskog niza, te da su $b_1$, $2b_2$ i $2b_3$ uzastopni članovi aritmetičkog niza. Odredi brojeve $c$ i $n$.

Neka je $S$ skup svih prirodnih brojeva manjih od 1000 čije su sve znamenke u dekadskom zapisu parne. Neka je $\omega$ kompleksni broj takav da je $\omega^2 + \omega + 1 = 0$.

Izračunaj zbroj $\sum_{k \in S} \omega^k$ tj. zbroj vrijednosti $\omega^k$ za sve $k$ iz skupa $S$.

Postoje li medusobno različiti pozitivni realni brojevi $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2023}$ takvi da se od

jednog kvadrata stranice duljine $a_1$,

tri kvadrata stranica duljine $a_3, \ldots,$

$k$ kvadrata stranice duljine $a_k, \ldots,$

2023 kvadrata stranica duljine $a_{2023}$

može sastaviti kvadrat?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem je $|AC| < |BC|$. Njegove visine $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ sijeku se u ortocentru $H$. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CH}$ sijeku u točki $I$, a pravci $DE$ i $AB$ u točki $X$. Neka je $H_1$ ortocentar trokuta $XAC$, a $H_2$ ortocentar trokuta $XIC$.

Ako je $|AH_1| = |IH_2|$, dokaži da je $|AI| = |DH_2|$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $f(a) \neq b$ vrijedi

$$f(a) - b \mid f(a)^2 + 2b + 1 - f(b)^2.$$

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ takve da je $2^{n!} = m^3 + 37$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ takve da za sve $x \in \mathbb{N}_0$, $y \in \mathbb{N}$ vrijedi: $$(f(x) + 1)(f(y) + 1) = (x + 1)(f(y - 1) + 1) + f(x + 1).$$

Možemo li iz svakog deveteročlanog podskupa skupa prirodnih brojeva odabrati četiri različita elementa $a$, $b$, $c$ i $d$, tako da brojevi $a + b$ i $c + d$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$?

Dokažite da za svaki trokut sa stranicama $a$, $b$, $c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ vrijedi jednakost $$\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right)\cos\alpha + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right)\cos\beta + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)\cos\gamma = 3.$$

U stožac je upisana polusfera čija kružna baza leži u bazi stošca. Omjer oplošja stošca (uključujući i bazu) i oplošja polusfere (bez kružne baze) je $k = \dfrac{18}{5}$. Odredite vršni kut stošca.

U trokutu $ABC$ su dane visine $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$, $\overline{CC_1}$, pri čemu je $$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \vec{0}.$$ Dokažite da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Dokažite da među svakih $79$ uzastopnih prirodnih brojeva postoji barem jedan čija je suma znamenaka djeljiva sa $13$.

Nađite niz od $78$ uzastopnih prirodnih brojeva sa svojstvom da suma znamenaka niti jednog od njih nije djeljiva sa $13$.

Neka su $x, y, z, a, b, c$ cijeli brojevi za koje vrijedi: $$\begin{aligned} x^{2} + y^{2} &= a^{2}, \\ x^{2} + z^{2} &= b^{2}, \\ y^{2} + z^{2} &= c^{2}. \end{aligned}$$

Dokažite da je broj $xyz$ djeljiv s

(a) $5$,

(b) $55$.

Dokažite da za svaki realan broj $x$ i svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$|\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 2^{2}x| + \cdots + |\cos 2^{n}x| \geq \frac{n}{2\sqrt{2}}.$$

Neka su u tetraedru $ABCD$ površine strana $ABD$, $ACD$, $BCD$ i $BCA$ redom jednake $S_{1}$, $S_{2}$, $Q_{1}$, $Q_{2}$, a prostorni kut između strana $ABD$ i $ACD$ jednak $\alpha$, odnosno $\beta$ između $BCD$ i $BCA$. Dokažite da je $$S_{1}^{2} + S_{2}^{2} - 2S_{1}S_{2}\cos\alpha = Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} - 2Q_{1}Q_{2}\cos\beta.$$

Nad stranicama trokuta $ABC$ konstruirani su slični trokuti $ABD$, $BCE$, $CAF$ ($k = |AD| : |DB| = |BE| : |EC| = |CF| : |FA|$; $\alpha = \measuredangle ADB = \measuredangle BEC = \measuredangle CFA$). Dokažite da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ i $\overline{EF}$ vrhovi paralelograma, čiji je jedan kut jednak $\alpha$, a omjer duljina odgovarajućih stranica $k$.

Dokažite da za svaki $x \in \mathbf{R}$ vrijedi nejednakost $$\sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq 2.$$ Kada vrijedi jednakost?

Neka su $h_1$, $h_2$, $h_3$ duljine visina trokuta $ABC$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$, redom, a $u$, $v$, $w$ udaljenosti točke $M$ iz unutrašnjosti trokuta od stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Dokažite: $$\frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,$$ $$h_1 h_2 h_3 \geq 27 uvw,$$ $$(h_1 - u)(h_2 - v)(h_3 - w) \geq 8 uvw.$$

Pravilna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi jednim vrhom baze i okomita je na nasuprotni pobočni brid. Površina presjeka dvaput je manja od površine baze. Odredite prikloni kut pobočnog brida i baze.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha] | n \in \mathbf{N}\}$ i $B = \{[n\beta] | n \in \mathbf{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbf{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbf{N} \longrightarrow \mathbf{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbf{N}$.

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Nadite najveći prirodan broj $n$ koji je djeljiv sa svim prirodnim brojevima $k$ takvima da je $k \leq \sqrt{n}$.

(a) Služeći se poznatim formulama $a = 2R \sin \alpha$ i $s - a = r \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}$ u trokutu $ABC$ s polumjerima $R$ i $r$ opisane i upisane kružnice i poluopsegom $s$ i izražavajući $\sin \alpha$ i $\ctg \frac{\alpha}{2}$ pomoću $\cos \alpha$ pokažite da je broj $\cos \alpha$ rješenje jednadžbe $$4R^2x^3 - 4R(R + r)x^2 + (s^2 + r^2 - 4R^2)x + (2R + r)^2 - s^2 = 0.$$

(b) Izrazite brojeve $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ i $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ pomoću duljina $R, r$ i $s$.

(c) Pokažite da je zbroj orijentiranih udaljenosti središta $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ od pravaca $BC, CA, AB$ jednaka $R + r$, ako se orijentirana udaljenost točke $O$ od npr. pravca $BC$ uzima kao pozitivna ili negativna već prema tome da li su točke $O$ i $A$ s iste ili s različitih strana tog pravca.

(d) Ako se konveksan tetivni $n$-terokut na bilo koji način podijeli na $n-2$ trokuta pomoću $n-3$ dijagonala, koje se ne sijeku unutar tog poligona, pokažite da je zbroj polumjera upisanih kružnica tih trokuta stalan bez obzira na podjelu na trokute.

(Napomena: Ovaj zadatak vrijedi $50$ bodova (ostali po $25$), a pri rješavanju pojedinog dijela ovog zadatka dopušteno je koristiti ranije dijelove makar i ne bili riješeni.)

Na nekom turističkom putovanju bilo je ukupno $17$ turista. Utvrđeno je da su bilo koja dvojica od njih bili međusobno "na ti" ili "na vi" ili uopće nisu razgovarali. Dokažite da među tih $17$ ljudi postoje bar trojica koji su međusobno bili "na ti" ili bar trojica koji su međusobno bili "na vi" ili bar trojica koji međusobno nisu razgovarali.

Na hipotenuzi $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$ izabrana je točka $P$ tako da je $|PA| = m$, $|PB| = n$, $|PC| = d$. Pokažite da je $$a^2 m^2 + b^2 n^2 = c^2 d^2,$$ gdje je $|BC| = a$, $|CA| = b$, $|AB| = c$.

Riješite jednadžbu $$2 \cos\left(\frac{\pi}{2}(1 + x)\right) = \frac{1}{x^2} + x^2.$$

Volumen kocke $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jednak je $V$. Nađite volumen zajedničkog dijela tetraedara $AB_1CD_1$ i $A_1BC_1D$.

U ravnini je dano pet točaka $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i, P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$.

U pravokutnom trokutu $ABC$ stranica $AB$ je hipotenuza, a težišnice $AA'$ i $BB'$ se sijeku u težištu $T$. Dokažite da je $\cos \angle ATB' \ge \dfrac{4}{5}$ i da jednakost vrijedi ako i samo ako je trokut jednakokračan.

Unutar kružnice polumjera $R$ nalazi se $n$ manjih kružnica polumjera $r_1, r_2, \ldots, r_n$ takvih da je $r_1 + r_2 + \ldots + r_n > 4R$. Dokažite da postoji pravac koji siječe barem $5$ manjih kružnica.

Nad stranicama $AB$ i $BC$ trokuta $ABC$ konstruirani su jednakostranični trokuti $ADB$ i $CBE$. Ako je $T$ težište trokuta $CBE$, a $P$ polovište dužine $AC$ dokažite da je $\angle DPT$ pravi kut.

U trokutu s duljinama stranica $a, b, c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ definira se tzv. Brocardov kut $\omega$ formulom $$m = \operatorname{ctg} \omega = \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg} \gamma.$$

(a) Izrazite zbrojeve $a^2 + b^2 + c^2$, $a^4 + b^4 + c^4$ i $b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2$ pomoću veličine $m$ i površine $P$ trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu $$2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2.$$

(b) Dokažite da je $m \ge 3$. Što to znači za kut $\omega$? Za koje trokute vrijedi jednakost?

(c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su $a, b, c, m$ cijeli brojevi.

Brojevi $1, 2, 7$ imaju svojstvo $1 \cdot 2 + 2 = 2^2$, $1 \cdot 7 + 2 = 3^2$, $2 \cdot 7 + 2 = 4^2$. Dokažite da ne postoje četiri različita prirodna broja sa svojstvom da je produkt svaka dva među njima uvećan za $2$ jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

Neka su $z$ i $w$ kompleksni brojevi takvi da vrijedi $|z| = |w| = |z - w|$. Izračunajte $\left(\dfrac{z}{w}\right)^{1992}$.

Dva sukladna pravokutnika postavljena su tako da se njihovi rubovi sijeku u $8$ točaka. Dokažite da je površina njihovog presjeka veća od polovine površine svakog od njih.

Defektna $d \times d$ šahovska ploča je $d \times d$ šahovska ploča s uklonjenim jednim kvadratićem (bilo kojim). Dokažite da se svaka defektna $2^n \times 2^n$, $n \in \mathbb{N}$ šahovska ploča može pokriti trionimima, figurama od tri polja u obliku slova L.